PROBABILITY

確率・順列・組合せの基本

「順番を区別するか？」を見分けることが、順列と組合せの最初のポイントです。

問題を解きたい方：
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順列

選んだ後の順番を区別する場合です。

5人から3人を選んで並べる
5P3 = 5 × 4 × 3 = 60通り

組合せ

選ぶだけで順番を区別しない場合です。

5人から2人を選ぶ
5C2 = (5 × 4) ÷ (2 × 1) = 10通り
見分け方
並べる・順位・役割が違う → 順列
グループを選ぶだけ → 組合せ

確率

すべての場合が同様に確からしいとき、基本は「条件を満たす場合の数 ÷ 全場合の数」です。

サイコロで偶数
2・4・6の3通り ÷ 全6通り
= 1/2

余事象

「少なくとも〜」などは、反対側の事象を考えると簡単になる場合があります。

P(Aが起こらない) = 1 - P(A)

問題を解く手順

  1. 「並べる」のか「選ぶだけ」なのかを確認します。
  2. 順番を区別するなら順列、区別しないなら組合せを使います。
  3. 確率では「条件を満たす場合の数 ÷ 全場合の数」に整理します。
  4. 「少なくとも1回」のような問題は、余事象で簡単にならないか確認します。

具体例：3人から2人を選ぶ

A・B・Cから2人を選ぶだけなら AB・AC・BC の3通りです。ABとBAを別扱いしないので組合せです。
一方、1位と2位を決めるなら ABとBAは別なので、3P2 = 6通りです。

「少なくとも1回」の考え方

「3回中少なくとも1回成功する」のような問題は、成功回数を1回・2回・3回と分けて足すより、「1回も成功しない確率」を求めて1から引く方が簡単な場合があります。余事象を使える表現かどうかを最初に確認しましょう。

よくある間違い

「選ぶ」という言葉だけで組合せと決めない
選んだ後に席順・順位・役割などが付く場合は順番を区別します。問題文で「入れ替えたときに別の結果になるか」を考えると判断しやすくなります。

試験でのポイント

公式を暗記するだけでなく、まず小さい人数で実際に並べてみると、順列と組合せの違いを確認できます。確率では分母と分子を同じ数え方でそろえることも重要です。

順列と組合せの違い

順列は並べる順番を区別し、組合せは選んだ順番を区別しません。AとBを選ぶ場合、ABとBAを別の結果として扱うなら順列、同じ選び方として扱うなら組合せです。

順列 nPr の考え方

n個からr個を選んで順番に並べる場合に使います。たとえば3人から1位・2位を決めるなら、3P2=3×2=6通りです。

組合せ nCr の考え方

n個からr個を選び、並べる順番を区別しない場合に使います。A・B・Cから2人を選ぶならAB、AC、BCの3通りです。

確率の基本的な求め方

同様に確からしい場合、基本は「条件を満たす場合の数 ÷ 全場合の数」です。分母と分子で数え方をそろえることが重要です。

「少なくとも1回」の確率はどう解く？

「少なくとも1回成功」のような問題は、「1回も成功しない」確率を求めて1から引く余事象を使うと簡単になる場合があります。

順列・組合せでよくある間違い

「選ぶ」という言葉だけで組合せと判断しない
選んだ後に順位・席順・役割が付く場合は順番を区別することがあります。
理解したら10問練習
順列・組合せの見分けから確率・余事象まで実際に解いてみましょう。
確率・順列・組合せを練習する